【如何求过渡矩阵】在线性代数中，过渡矩阵是一个非常重要的概念，尤其是在坐标变换和基底转换的过程中。过渡矩阵用于将一个向量在某一组基下的坐标表示转换为另一组基下的坐标表示。掌握如何求过渡矩阵对于理解线性变换、特征值与特征向量等内容具有重要意义。
下面我们将总结求过渡矩阵的基本步骤，并通过表格形式清晰展示其过程。
一、基本概念
- 基（Basis）：一组线性无关的向量，可以用来表示空间中的任何向量。
- 坐标（Coordinate）：一个向量在某个基下的表示形式。
- 过渡矩阵（Transition Matrix）：将一个向量在基 $ B $ 下的坐标转换为在基 $ B' $ 下的坐标所用的矩阵，记作 $ P_{B \to B'} $ 或 $ [I]_{B}^{B'} $。
二、求过渡矩阵的步骤
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定两个基：原基 $ B = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \} $ 和目标基 $ B' = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \} $。 |
| 2 | 将原基 $ B $ 中的每个向量 $ \mathbf{v}_i $ 表示为新基 $ B' $ 下的坐标。即求解方程：$ \mathbf{v}_i = a_1 \mathbf{u}_1 + a_2 \mathbf{u}_2 + \dots + a_n \mathbf{u}_n $。 |
| 3 | 每个 $ \mathbf{v}_i $ 在 $ B' $ 下的坐标构成列向量，这些列向量按顺序排列组成过渡矩阵 $ P_{B \to B'} $。 |
| 4 | 过渡矩阵 $ P_{B \to B'} $ 可以直接由 $ B' $ 的基向量作为列组成的矩阵的逆矩阵乘以 $ B $ 的基向量组成的矩阵得到。即：$ P_{B \to B'} = [B']^{-1}[B] $。 |
三、示例说明
假设我们有两个基：
- 原基 $ B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} $
- 新基 $ B' = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} $
我们需要求从 $ B $ 到 $ B' $ 的过渡矩阵。
步骤如下：
1. 构造矩阵 $ [B] $ 和 $ [B'] $：
$$
[B] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad [B'] = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$
2. 计算 $ [B']^{-1} $：
$$
[B']^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (-1)(1)} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}
$$
3. 计算过渡矩阵 $ P = [B']^{-1}[B] $：
$$
P = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}
$$
因此，从 $ B $ 到 $ B' $ 的过渡矩阵为：
$$
P = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
$$
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 过渡矩阵是将一个向量在一组基下的坐标转换为另一组基下坐标的矩阵。 |
| 方法 | 1. 直接将原基中的每个向量表示为新基的线性组合； 2. 使用公式 $ P = [B']^{-1}[B] $。 |
| 关键 | 需要正确构造基向量矩阵并计算其逆矩阵。 |
| 应用 | 用于坐标变换、线性变换分析等。 |
通过以上步骤和示例，我们可以清晰地理解如何求过渡矩阵。掌握这一方法有助于进一步学习线性代数中的相关知识，如特征分解、正交变换等。