三阶特征多项式的核心求法是：对三阶方阵 A 先写出 λE-A，再计算它的三阶行列式，化简成关于 λ 的三次多项式 f(λ)。常用公式为 f(λ)=λ³-tr(A)λ²+Sλ-det(A)，其中 tr(A) 是主对角线元素之和，S 是三个二阶主子式之和，det(A) 是原矩阵行列式。把矩阵元素代入后合并同类项，就能得到三阶特征多项式；再解 f(λ)=0，可继续得到特征值。若教材使用 A-λE 求行列式，得到的多项式与 λE-A 只差一个整体符号，令它等于 0 后特征值结果保持一致。
一、计算依据
三阶特征多项式来自行列式计算，常见定义是：
f(λ)=det(λE-A)
也可以写成：
f(λ)=det(A-λE)
两种写法在求特征值时结果一致。为了结果更统一，推荐优先使用 f(λ)=det(λE-A)，这样最高次项系数为 1。
对于三阶方阵：
| λE-A | 表示 |
|---|---|
| E | 三阶单位矩阵 |
| λ | 特征多项式中的变量 |
| A | 给定的三阶方阵 |
| det | 行列式符号 |
三阶特征多项式展开后通常有固定结构：
| 项 | 形式 | 来源 |
|---|---|---|
| λ³ 项 | 1×λ³ | 三阶行列式展开后的主对角乘积 |
| λ² 项 | -tr(A)λ² | 主对角线元素之和 |
| λ 项 | Sλ | 三个二阶主子式之和 |
| 常数项 | -det(A) | 原矩阵行列式 |
二、通用公式
设三阶矩阵：
A=
| a b c |
|---|
| d e f |
| g h i |
那么三阶特征多项式可写成：
f(λ)=det(λE-A)
展开为：
f(λ)=λ³-(a+e+i)λ²+(ae-bd+ai-cg+ei-fh)λ-(aei+bfg+cdh-afh-bdi-cge)
这个公式可以拆成三部分记忆：
| 部分 | 内容 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| λ² 的系数 | -（a+e+i） | ||||||
| λ 的系数 | 三个二阶主子式相加： | a b; d e | + | a c; g i | + | e f; h i | |
| 常数项 | -det(A) |
其中 det(A) 按三阶行列式公式展开即可。
三、操作步骤
步骤 1：写出矩阵 λE-A
把单位矩阵 E 乘以 λ，再减去原矩阵 A。每个对角线元素变为 λ-a、λ-e、λ-i，非对角线元素取相反数。
步骤 2：计算三阶行列式
可以用三种方法之一：
| 方法 | 适用场景 |
|---|---|
| 按第一行展开 | 元素清楚，便于整理 λ 的多项式 |
| 对角线法 | 适合快速手算 |
| 公式法 | 适合熟悉 tr、S、det 的读者 |
步骤 3：按 λ 的次数整理
把展开后的式子按以下顺序排列：
- λ³ 项
- λ² 项
- λ 项
- 常数项
这样得到的就是标准形式的三阶特征多项式。
步骤 4：解特征方程
若题目继续要求特征值，令：
f(λ)=0
然后解三次方程。可尝试整根、因式分解、降次等方法，直到得到所有特征值。
四、常见问题
【常见问题】
问题1：三阶特征多项式怎么求？
回答1：三阶特征多项式可先构造 λE-A，再计算三阶行列式，最后合并同类项，得到关于 λ 的三次多项式，这就是三阶特征多项式的完整求法。
问题2：三阶特征多项式公式怎么记？
回答2：三阶特征多项式常用公式是 f(λ)=λ³-tr(A)λ²+Sλ-det(A)，记住 λ² 项看主对角线之和，λ 项看二阶主子式之和，常数项看原矩阵行列式，就能稳定写出三阶特征多项式。
问题3：用 A-λE 求三阶特征多项式会影响结果吗？
回答3：用 A-λE 计算时，三阶特征多项式与 λE-A 的结果只差一个整体符号；把两个式子都等于 0 来求特征值时，三阶特征多项式对应的特征值结果保持一致。
问题4：三阶特征多项式计算步骤中怎样整理更清楚？
回答4：计算三阶特征多项式时，建议把 λ³、λ²、λ、常数项分四类整理，再把系数合并，这样能让三阶特征多项式的结构更直观。
问题5：三阶特征多项式求出后还要做什么？
回答5：求出三阶特征多项式后，通常继续令它等于 0，解 f(λ)=0，从而得到特征值；若需要特征向量，再把每个特征值代入 A-λE 或 λE-A 对应的齐次方程组求解。
免责声明：以上内容用于数学计算方法整理，实际学习、作业或考试请以题目给定格式和教材约定为准。