【二次函数的6个公式】在数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握二次函数的相关公式，不仅有助于解题，还能提升对函数图像和性质的理解。本文将总结二次函数常用的6个关键公式，并以表格形式进行清晰展示。
一、二次函数的基本形式
二次函数的一般形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。
二、顶点式（标准式）
当需要快速确定抛物线的顶点时，可以使用顶点式：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中，$ (h, k) $ 是抛物线的顶点坐标。
三、求根公式（求解方程的根）
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其解为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中，判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 决定了根的性质：
- 若 $ D > 0 $：有两个不等实根；
- 若 $ D = 0 $：有一个实根（重根）；
- 若 $ D < 0 $：无实根，有两个共轭复根。
四、对称轴公式
二次函数的图像是抛物线，其对称轴为一条垂直于 x 轴的直线，公式为：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
五、判别式的应用
判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 不仅用于判断根的性质，还可以帮助我们分析抛物线与 x 轴的交点情况：
| 判别式 | 根的情况 | 图像与 x 轴的关系 |
| $ D > 0 $ | 两个不同的实根 | 与 x 轴有两个交点 |
| $ D = 0 $ | 一个实根（重根） | 与 x 轴有一个交点 |
| $ D < 0 $ | 无实根 | 与 x 轴没有交点 |
六、最大值或最小值公式
由于二次函数的图像是抛物线，当 $ a > 0 $ 时，开口向上，有最小值；当 $ a < 0 $ 时，开口向下，有最大值。顶点处的函数值即为极值，计算公式如下：
$$
y_{\text{min or max}} = c - \frac{b^2}{4a}
$$
总结表格
| 公式名称 | 公式表达式 | 应用场景 |
| 一般式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 表达函数的基本形式 |
| 顶点式 | $ y = a(x - h)^2 + k $ | 快速找到顶点坐标 |
| 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 解方程，求根 |
| 对称轴公式 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 找到抛物线的对称轴 |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ | 判断根的性质 |
| 极值公式 | $ y = c - \frac{b^2}{4a} $ | 计算最大值或最小值 |
通过以上六个公式，我们可以更全面地理解二次函数的性质和应用。无论是考试复习还是实际问题的解决，这些公式都是不可或缺的工具。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和运用能力。