【代数余子式怎么算】在学习线性代数的过程中，代数余子式是一个重要的概念，尤其在计算行列式和逆矩阵时经常用到。理解代数余子式的计算方法，有助于我们更深入地掌握矩阵的相关知识。
一、什么是代数余子式？
对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $，其第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式（Cofactor）记作 $ C_{ij} $，它是由去掉该元素所在行和列后所形成的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $ 得到的。
二、代数余子式的计算步骤
1. 确定位置：找到目标元素 $ a_{ij} $ 所在的行 $ i $ 和列 $ j $。
2. 删除对应行和列：将第 $ i $ 行和第 $ j $ 列删除，得到一个 $ (n-1) \times (n-1) $ 的子矩阵。
3. 计算行列式：计算这个子矩阵的行列式。
4. 乘以符号因子：根据位置 $ (i,j) $，乘上 $ (-1)^{i+j} $。
三、代数余子式的公式表示
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式，称为余子式。
四、代数余子式的计算示例
以下是一个 3×3 矩阵的例子，展示如何计算某个元素的代数余子式。
设矩阵为：
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}
$$
计算元素 $ e $（即第 2 行第 2 列）的代数余子式 $ C_{22} $：
1. 删除第 2 行和第 2 列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
a & c \\
g & i \\
\end{bmatrix}
$$
2. 计算行列式：
$$
M_{22} = ai - cg
$$
3. 符号因子为 $ (-1)^{2+2} = 1 $，因此：
$$
C_{22} = 1 \cdot (ai - cg) = ai - cg
$$
五、总结表格
| 元素位置 | 子矩阵 | 余子式 $ M_{ij} $ | 符号因子 $ (-1)^{i+j} $ | 代数余子式 $ C_{ij} $ |
| $ a_{11} $ | $\begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix}$ | $ ei - fh $ | $ (-1)^{1+1} = 1 $ | $ ei - fh $ |
| $ a_{12} $ | $\begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix}$ | $ di - fg $ | $ (-1)^{1+2} = -1 $ | $ -di + fg $ |
| $ a_{13} $ | $\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}$ | $ dh - eg $ | $ (-1)^{1+3} = 1 $ | $ dh - eg $ |
| $ a_{21} $ | $\begin{bmatrix} b & c \\ h & i \end{bmatrix}$ | $ bi - ch $ | $ (-1)^{2+1} = -1 $ | $ -bi + ch $ |
| $ a_{22} $ | $\begin{bmatrix} a & c \\ g & i \end{bmatrix}$ | $ ai - cg $ | $ (-1)^{2+2} = 1 $ | $ ai - cg $ |
| $ a_{23} $ | $\begin{bmatrix} a & b \\ g & h \end{bmatrix}$ | $ ah - bg $ | $ (-1)^{2+3} = -1 $ | $ -ah + bg $ |
| $ a_{31} $ | $\begin{bmatrix} b & c \\ e & f \end{bmatrix}$ | $ bf - ec $ | $ (-1)^{3+1} = 1 $ | $ bf - ec $ |
| $ a_{32} $ | $\begin{bmatrix} a & c \\ d & f \end{bmatrix}$ | $ af - cd $ | $ (-1)^{3+2} = -1 $ | $ -af + cd $ |
| $ a_{33} $ | $\begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix}$ | $ ae - bd $ | $ (-1)^{3+3} = 1 $ | $ ae - bd $ |
六、小结
代数余子式的计算是线性代数中的一项基础技能，掌握它的计算方法有助于更好地理解行列式的展开、逆矩阵的求法以及矩阵的性质。通过上述步骤和表格，可以系统地进行代数余子式的计算，避免混淆和错误。