欧拉定理证明（欧拉定理）

大家好,小东方来为大家解答以上的问题。欧拉定理证明，欧拉定理这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。

2、在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。

3、欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

4、欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

5、此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。

6、西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

7、另有欧拉公式。

8、内容在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。

9、欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:欧拉定理折叠 证明将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然，共有φ(n)个数)我们考虑这么一些数:m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)1)这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些)，就有:mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。

10、但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR

11、也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。

12、2)这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。

13、那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.由1)和2)可知，数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

14、可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。

15、但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。

16、那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n)，即a^[φ(n)]≡1 (mod n)，得证。

17、费马小定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

18、推论:对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。

19、折叠 应用首先看一个基本的例子。

20、令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。

21、比5小的正整数中与5互素的数有2、3和4，所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。

22、计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 (mod 5)。

23、与定理结果相符。

24、这个定理可以用来简化幂的模运算。

25、比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。

26、7和10[[互素]]，且φ(10)=4。

27、由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。

28、所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

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